Question

已知函數f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），其中a＞0，a≠1．設h（x）=f（x）-g（x）．
（Ⅰ）判斷h（x）的奇偶性，并說明理由；
（Ⅱ）若f（3）=2，求使h（x）＞0成立的x的集合．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）求得函數h（x）的定義域關于原點對稱，再根據h（-x）=-h（x），可得函數h（x）為奇函數．
（Ⅱ）由f（3）=2求得a=2，由h（x）＞0，可得log₂（1+x）＞log₂（1-x），故有

1+x＞1-x 1-x＞0

，由此求得使h（x）＞0成立的x的集合．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得

1+x＞0 1-x＞0

，求得-1＜x＜1，
可得函數h（x）=f（x）-g（x）的定義域為（-1，1），關于原點對稱．
再根據h（-x）=f（x）-g（x）=log₄（1-x）-log₄（1+x）=g（x）-f（x）=-h（x），
可得函數h（x）為奇函數．
（Ⅱ）若f（3）=2=log_a（1+3），故a=2，此時，h（x）=f（x）-g（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x），
由h（x）＞0，可得log₂（1+x）＞log₂（1-x），∴

1+x＞1-x 1-x＞0

，求得0＜x＜1．
故使h（x）＞0成立的x的集合為{x|0＜x＜1}．

點評：本題主要考查對數函數的性質的綜合應用，函數的奇偶性的判斷，解對數不等式，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．