Question

已知函數(shù)f（x）=-2x²+4x+3．
（1）用單調(diào)性定義證明f（x）在[1，﹢∞）上是減函數(shù)；
（2）求函數(shù)f（x）在x∈[0，4]時(shí)的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）用定義法證明單調(diào)性一般可以分為五步，取值，作差，化簡(jiǎn)變形，判號(hào)，下結(jié)論．
（2）由單調(diào)性及二次函數(shù)的特征求最值．

解答： 解：（1）證明：任取x₁，x₂∈[1，﹢∞），且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=（-2x₁²+4x₁+3）-（-2x₂²+4x₂+3）
=（x₂-x₁）（2x₂+2x₁-4）
∵x₁，x₂∈[1，﹢∞），且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，2x₂+2x₁-4＞0，
則f（x₁）＞f（x₂），
則f（x）在[1，﹢∞）上是減函數(shù)．
（2）∵函數(shù)f（x）=-2x²+4x+3是二次函數(shù)，且對(duì)稱軸為x=1，
∴f（x）_max=f（1）=5，f（x）_min=f（4）=-13．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的證明及函數(shù)的最值的求法，單調(diào)性的證明一般有兩種方法，定義法，導(dǎo)數(shù)法．屬于基礎(chǔ)題．