已知函數(shù)f（x）對一切實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）當(dāng)x∈[0，
1
2
]時，f（x+3）＜2x+a恒成立，求a的范圍．
考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用
專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）令x=1，y=0得f（0）的方程，解方程即可得出；
（2）y=0，可得f（x）的方程，即可解出f（x）的解析式；
（3）f（x+3）＜2x+a可化為a＞x2+5x在x∈[0，
1
2
]恒成立，轉(zhuǎn)化為a＞（x2+5x）max，求最值即可．
解答： 解：（1）令x=1，y=0得f（1+0）-f（0）=2，
又f（1）=0，可得f（0）=-2，
（2）令y=0，可得f（x）-f（0）=x（x+1），
所以f（x）=x2+x-2，
（3）x∈[0，
1
2
]時，f（x+3）＜2x+a恒成立，即x∈[0，
1
2
]時，a＞x2+5x恒成立．
∴a＞（x2+5x）max，
因?yàn)閤2+5x在[0，
1
2
]單調(diào)增，所以最大值為
11
4
．
所以a的范圍是a＞
11
4
．
點(diǎn)評：抽象函數(shù)的求解問題，合理賦值是解答的關(guān)鍵，函數(shù)恒成立求參數(shù)取值范圍問題一般要轉(zhuǎn)化為最值問題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-2x2+4x+3．
（1）用單調(diào)性定義證明f（x）在[1，﹢∞）上是減函數(shù)；
（2）求函數(shù)f（x）在x∈[0，4]時的最大值與最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若0＜a＜1，則關(guān)于x的不等式ax2-1≤x（a-1）的解集是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正整數(shù)x1，x2，x3，x4，x5滿足任取四個數(shù)求和構(gòu)成的集合為{44，45，46，47}，求正整數(shù)x1，x2，x3，x4，x5的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一個袋中裝有6個形狀大小完全相同的小球，其中紅球有3個，編號為1，2，3；黑球有2個，編號為1，2；白球有一個，編號為1．現(xiàn)從袋中一次隨機(jī)抽取3個球．
（1）求取出的三個球的顏色都不相同的概率；
（2）記取得1號球的個數(shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的概率分布．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

關(guān)于方程|log2x|=a（a＞0）的兩個根x1，x2（x1＜x2）以下說法正確的是（　　）
A、x1+x2＞3
B、x1x2＞2
C、x1x2=1
D、1＜x1+x2＜2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+3ax-1，g（x）=f′（x）-ax-5，其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．若對滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(shù)（x）＜0，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總費(fèi)用與總存儲費(fèi)用之和最小，則x=（　　）
A、10B、20C、40D、80

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（
1
2
）x，g（x）=log
1
2
x，記函數(shù)h（x）=
f(x)，f(x)≤g(x)
g(x)，f(x)＞g(x)
，則不等式h（x）≥
2
2
的解集為
 
．

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