Question

設(shè)函數(shù)，g（x）=2x²+4x+c．
（1）試問(wèn)函數(shù)f（x）能否在x=﹣1時(shí)取得極值？說(shuō)明理由；
（2）若a=﹣1，當(dāng)x∈[﹣3，4]時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，求c的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意f'（x）=x²﹣2ax﹣a， 假設(shè)在x=﹣1時(shí)f（x）取得極值，則有f'（﹣1）=1+2a﹣a=0，
∴a=﹣1， 而此時(shí)，f'（x）=x²+2x+1=（x+1）²≥0，函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，無(wú)極值．
這與f（x）在x=﹣1有極值矛盾，所以f（x）在x=﹣1處無(wú)極值；
（2）令f（x）=g（x），則有x³﹣x²﹣3x﹣c=0，
∴c=x³﹣x²﹣3x，
設(shè)F（x）=x³﹣x²﹣3x，G（x）=c，
令F'（x）=x²﹣2x﹣3=0，
解得x=﹣1或x=3．
列表如下：

由此可知：F（x）在（﹣3，﹣1）、（3，4）上是增函數(shù)，在（﹣1，3）上是減函數(shù)．
當(dāng)x=﹣1時(shí)，F(xiàn)（x）取得極大值；
當(dāng)x=3時(shí)，F(xiàn)（x）取得極小值F（﹣3）=F（3）=﹣9，而．
如果函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則函數(shù)F（x）與G（x）有兩個(gè)公共點(diǎn)，
所以，或c=﹣9．