Question

如圖，已知橢圓，直線的方程為，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于異于左頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線，交直線分別于點(diǎn)，．

（1）當(dāng)時(shí)，求此時(shí)直線的方程；

（2）試問，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

 

 

Answer 1

（1）；（2），兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.

【解析】

試題分析：（1）討論①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，確定得到，又

不滿足；

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為

代入橢圓得；

應(yīng)用韋達(dá)定理研究，解得 求得直線的方程；

（2）的方程為與的方程：聯(lián)立

確定 同理得，

從而.

討論不存在、存在的兩種情況，得出結(jié)論.

（1）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由可知方程為

代入橢圓得又

不滿足 2分

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為

代入橢圓得 3分

設(shè)得 4分

故直線的方程； 6分

（2）的方程為與的方程：聯(lián)立

得： 同理得 8分

①不存在時(shí)， 9分

②存在時(shí)， 12分

，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值 13分

考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)，直線方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，分類討論思想.