Question

已知集合A={（x，y）|ax+y=1}，B={（x，y）|x+ay=1}，C={（x，y）|x²+y²=1}．
（1）當(dāng)a為何值時(shí)，（A∩C）∪（B∩C）為含有兩個(gè)元素的集合．
（2）當(dāng)a為何值時(shí)，（A∪B）∩C為含有三個(gè)元素的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算

專(zhuān)題：集合

分析：（1）分別聯(lián)立方程求出解集，即求出A∩C、B∩C，再根據(jù)條件列出方程，求實(shí)數(shù)a即可；
（2）（A∪B）∩C為含三個(gè)元素的集合，a≠0，a≠1．直線ax+y=1和x+ay=1與圓x²+y²=1必須交于三個(gè)點(diǎn)，即兩直線有一個(gè)交點(diǎn)在圓x²+y²=1上，且兩直線與圓還各有一個(gè)交點(diǎn)，利用對(duì)稱(chēng)性求出實(shí)數(shù)a即可．

解答： 解：（1）由

ax+y=1 x2+y2=1

得，

x=0 y=1

或

x= 2a 1+a2 y= 1-a 1+a2

，
則A∩C={（0，1），（

2a

1+a2

，

1-a

1+a2

）}
由

x+ay=1 x2+y2=1

得，

x=1 y=0

或

y= 2a 1+a2 x= 1-a 1+a2

，
則B∩C={（1，0），（

1-a

1+a2

，

2a

1+a2

）}
∵（A∩C）∪（B∩C）為含有兩個(gè)元素的集合，
∴

1-a 1+a2 =0 2a 1+a2 =1

或

1-a 1+a2 =1 2a 1+a2 =0

，解得a=1或a=0，
故a的值為：a=1或a=0；
（2）（A∪B）∩C含三個(gè)元素，顯然a≠0，a≠1，如右圖所示：
直線ax+y=1和x+ay=1與圓x²+y²=1必須交于三個(gè)點(diǎn)，即兩直線有一個(gè)交點(diǎn)在圓x²+y²=1上，且兩直線與圓還各有一個(gè)交點(diǎn)
∵直線ax+y=1和x+ay=1關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)
∴三個(gè)交點(diǎn)為（0，1），（1，0），(

2

2

，

2

2

)或（0，1），（1，0），(-

2

2

，-

2

2

)，
如圖（3）（4）所示
此時(shí)a=-1±

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查并集、交集的轉(zhuǎn)換，考查數(shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論的思想，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，作出圖形，是解好本題的前提，是中檔題．