Question

5．已知函數(shù)f₀（x）=xcosx（x∈R），記f_n（x）為f_n-1（x）的導(dǎo)數(shù)，n∈N^*．
（1）求f₁（$\frac{π}{4}$）+f₂（$\frac{π}{4}$）+f₃（$\frac{π}{4}$）+f₄（$\frac{π}{4}$）的值；
（2）求f_n（x）（n∈N^*）的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f_n（x）為f_n-1（x）的導(dǎo)數(shù)，分別求出f₁（x），f₂（x），f₃（x），f₄（x），再帶值計算即可；
（2）由（1）猜想f_n（x）=nsin（$\frac{n}{2}$π+x）+xcos（$\frac{n}{2}$π+x），用數(shù)學(xué)歸納法進行證明等式成立．

解答 解：（1）f₁（x）=f₀′（x）=cosx-xsinx，
f₂（x）=f₁′（x）=-sinx-（sinx+xcosx）=-2sinx-xcosx，
f₃（x）=f₂′（x）=-3cosx+xsinx，
f₄（x）=f₃′（x）=4sinx+xcosx，
∴f₁（$\frac{π}{4}$）+f₂（$\frac{π}{4}$）+f₃（$\frac{π}{4}$）+f₄（$\frac{π}{4}$）=2sin$\frac{π}{4}$-2cos$\frac{π}{4}$=0，
（2）由（1）猜想f_n（x）=nsin（$\frac{n}{2}$π+x）+xcos（$\frac{n}{2}$π+x），
下面用數(shù)學(xué)歸納法進行證明等式成立：
①當(dāng)n=1時，f₁（x）=sin（$\frac{1}{2}$π+x）+xcos（$\frac{1}{2}$π+x）=cosx-xsinx，等式成立，
②假設(shè)n=k（k≥2且k∈N^*）時等式成立，即f_k（x）=ksin（$\frac{k}{2}$π+x）+xcos（$\frac{k}{2}$π+x），
那么當(dāng)n=k+1時，f_k+1（x）=f_k′（x）=kcos（$\frac{k}{2}$π+x）+cos（$\frac{k}{2}$π+x）-xsin（（$\frac{k}{2}$π+x），
=（k+1）cos（$\frac{k}{2}$π+x）-xsin（$\frac{k}{2}$π+x），
=（k+1）sin（$\frac{k+1}{2}$π+x）+xcos（$\frac{k+1}{2}$π+x）．
∴當(dāng)n=k+1時等式成立，
由①②得f_n（x）=nsin（$\frac{n}{2}$π+x）+xcos（$\frac{n}{2}$π+x），（n∈N^*）．

點評 本題考查了三角函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)公式和法則、誘導(dǎo)公式，以及數(shù)學(xué)歸納法證明命題、轉(zhuǎn)化思想等，本題設(shè)計巧妙，題型新穎，立意深刻，是一道不可多得的好題，屬于中檔題．