Question

15．已知數列{a_n}和{b_n}中，數列{a_n}的前n項和為s_n，若點（n，s_n）在函數y=-x²+14x的圖象上，點（n，b_n）在函數y=2^x的圖象上．設數列{c_n}={a_nb_n}．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{c_n}的前n項和T_n；
（Ⅲ）求數列{c_n}的最大值．

Answer 1

分析 （I）由點（n，s_n）在函數y=-x²+14x的圖象上，可得S_n=-n²+14n，利用遞推式可得a_n．
（II）點（n，b_n）在函數y=2^x的圖象上．可得b_n=2ⁿ，c_n=a_n•b_n=（-2n+15）•2ⁿ．再利用“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式即可得出．
（III）作差c_n+1-c_n=（11-2n）•2ⁿ，令c_n+1-c_n＞0，解得$n＜\frac{11}{2}$．可得{c_n}單調性．

解答 解：（I）∵點（n，s_n）在函數y=-x²+14x的圖象上，∴S_n=-n²+14n，
∴當n=1時，a₁=S₁=13；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-n²+14n-[-（n-1）²+14（n-1）]
=-2n+15．
當n=1時上式成立，
∴a_n=-2n+15．
（II）∵點（n，b_n）在函數y=2^x的圖象上．
∴b_n=2ⁿ，
∴c_n=a_n•b_n=（-2n+15）•2ⁿ．
∴T_n=13×2¹+11×2²+…+（-2n+15）•2ⁿ，
2T_n=13×2²+11×2³+…+（-2n+13）×2ⁿ+（-2n+15）×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=26-2³-2⁴-…-2ⁿ⁺¹+（2n-15）×2ⁿ⁺¹=26-$\frac{{2}^{3}（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$+（2n-15）×2ⁿ⁺¹=（2n-17）×2ⁿ⁺¹+34，
∴T_n=（17-2n）×2ⁿ⁺¹-34．
（III）∵c_n=（-2n+15）•2ⁿ，c_n+1=（-2n+13）•2ⁿ⁺¹，
∴c_n+1-c_n=（11-2n）•2ⁿ，
令c_n+1-c_n＞0，解得$n＜\frac{11}{2}$．
∴當n≤6時，{c_n}單調遞增；當n≥6時，{c_n}單調遞減．
∴當n=6時，c_n取得最大值，c₆=（-2×6+15）×2⁶=192．
故數列{c_n}的最大值為192．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式、遞推式的應用、數列的單調性、函數圖象與性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．