Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2^x+

a

2x

-1（a為實(shí)數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求方程|f（x）|=

1

2

的根；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，若對(duì)于任意t∈（1，4]，不等式f（t²-2t）-f（2t²-k）＞0恒成立，求k的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=2^x-1，由題意得|2^x-1|=

1

2

，進(jìn)一步可得所以2^x-1=

1

2

，或2^x-1=-

1

2

，解出x即可；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=2x-

1

2x

-1，易推函數(shù)f(x)=2x-

1

2x

-1在R上單調(diào)遞增，
不等式f（t²-2t）-f（2t²-k）＞0恒成立，即f（t²-2t）＞f（2t²-k）恒成立，故k＞t²+2t，從而k＞（t²+2t）_max，求最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=2^x-1，
由題意得|2^x-1|=

1

2

，
所以2^x-1=

1

2

，或2^x-1=-

1

2

，
解得x=log2

3

2

或x=-1；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=2x-

1

2x

-1，
由于函數(shù)y=2^x遞增、函數(shù)y=

1

2x

遞減，所以f(x)=2x-

1

2x

-1在R上單調(diào)遞增．
不等式f（t²-2t）-f（2t²-k）＞0恒成立，
即f（t²-2t）＞f（2t²-k）恒成立，即t²-2t＞2t²-k，故k＞t²+2t，
從而k＞（t²+2t）_max，
又當(dāng)t∈（1，4]時(shí)，（t²+2t）_max=24，
所以k＞24．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)方程的解法，同時(shí)考查函數(shù)恒成立的問(wèn)題，函數(shù)恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解題的突破口．