Question

若直線l過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)B在x軸下方，若直線l的傾斜角θ≤

3π

4

，則|FB|的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)B（x₁，y₁），依題意可求得拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0）與準(zhǔn)線方程x=-1；利用拋物線的定義，將|BF|轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到其準(zhǔn)線的距離，通過解方程組即可求得|FB|的最大值，從而可得|BF|的取值范圍．

解答： 解：設(shè)B（x₁，y₁），依題意可求得拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0）與準(zhǔn)線方程x=-1；
利用拋物線的定義，|FB|=x₁+1．
當(dāng)AB的傾斜角θ=0°時(shí)，x₁=0，|FB|=1，此時(shí)直線和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，與題意不符；
當(dāng)AB的傾斜角θ=135°時(shí)，|FB|最大，此時(shí)直線FB的方程為：y=-（x-1）=1-x．
由

y=1-x y2=4x

 可得x=3+2

2

，或 x=3-2

2

（舍去），
故∴|BF|的取值范圍是（1，3+2

2

]，
故答案為：（1，3+2

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查方程思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．