Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（2log4x﹣2）（log4x﹣ ），
（1）當(dāng)x∈[2，4]時，求該函數(shù)的值域；
（2）求f（x）在區(qū)間[2，t]（t＞2）上的最小值g（t）．

Answer 1

【答案】
（1）解：令m=log4x，x∈[2，4]時，則m∈[ ，1]，

則f（t）=（2m﹣2）（m﹣ ）=2m2﹣3m+1=2（m﹣ ）2﹣ ，

當(dāng)m= 時，有最小值為﹣ ，

當(dāng)m= 或1時，有最大值為0，

∴該函數(shù)的值域為[﹣ ，0]

（2）解：由（1）可知f（m）=2m2﹣3m+1=2（m﹣ ）2﹣ ，

∵x∈[2，t]，

∴m∈[ ，log4t]，

當(dāng) ≤m＜ 時，即2≤t＜2 時，函數(shù)f（t）在[ ，log4t]，單調(diào)遞減，

g（t）=f（t）min=f（log4t）=2log42t﹣3log4t+1

當(dāng)m≥ 時，即t≥2 時，函數(shù)f（t）在[ ， ]上單調(diào)遞減，

在（ ，log4t]單調(diào)遞增，g（t）=f（t）min=f（ ）=﹣ ，

綜上所述：g（t）=

【解析】（1）令m=log4x，則可將函數(shù)在x∈[2，4]時的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間上的值域問題；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和對稱軸，分類討論即可求出最小值．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的值域和函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識點，需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最�。ù螅�數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的；利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲�；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值才能正確解答此題．