Question

5．已知數列{a_n}為等差數列，公差d≠0{a_n}的部分項組成的數列a_k1，a_k2，…，a_kn恰為等比數列，其中k₁=1，k₂=5，k₃=17，則k_n=2•3^n-1-1．

Answer 1

分析 運用等差（比）數列的定義分別求得${a}_{{k}_{n}}$，然后列方程求得k_n．

解答 解：設{a_n}的首項為a₁，
∵${a}_{{k}_{1}}$，${a}_{{k}_{2}}$，${a}_{{k}_{3}}$成等比數列，
∴（a₁+4d）²=a₁（a₁+16d）．
得a₁=2d，q=$\frac{{a}_{{k}_{2}}}{{a}_{{k}_{1}}}$=3．
∵${a}_{{k}_{n}}$=a₁+（k_n-1）d，又${a}_{{k}_{n}}$=a₁•3^n-1，
∴k_n=2•3^n-1-1．
故答案為：2•3^n-1-1．

點評 運用等差（比）數列的定義轉化為關于k_n的方程是解題的關鍵，轉化時要注意：a_kn是等差數列中的第k_n項，而是等比數列中的第n項，是中檔題．