Question

15．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C（單位：萬元）與日產(chǎn)量x（單位：噸）滿足函數(shù)關(guān)系式C=3+x，每日的銷售額S（單位：萬元）與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式：S=$\left\{\begin{array}{l}{3x+\frac{k}{x-8}+5，0＜x＜6}\\{-\frac{1}{5}{x}^{2}+\frac{21}{5}x-4，x≥6}\end{array}\right.$，已知每日的利潤L=S-C，且當x=2時，L=3．
（1）求k的值；
（2）當日產(chǎn)量為多少噸時，每日的利潤可以達到最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合已知中C=3+x，S=$\left\{\begin{array}{l}{3x+\frac{k}{x-8}+5，0＜x＜6}\\{-\frac{1}{5}{x}^{2}+\frac{21}{5}x-4，x≥6}\end{array}\right.$，L=S-C，當x=2時，L=3，構(gòu)造關(guān)于k的方程，解得答案．
（2）結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析利潤的最大值，可得答案．

解答 解：（1）∵當x=2時，L=S-C=$6+\frac{k}{-6}+5$-5=3，解得k=18，
（2）由（1）得：L=S-C=$\left\{\begin{array}{l}2x+\frac{18}{x-8}+2，0＜x＜6\\-\frac{1}{5}{x}^{2}+\frac{16}{5}x-7，x≥6\end{array}\right.$，
當0＜x＜6時，L=$2x+\frac{18}{x-8}+2$，
L′=2+$\frac{x-26}{（x-8）^{2}}$，
令L′=0，則x=5，或x=11（舍去），
當0＜x＜5時，L′＞0，L為增函數(shù)，當5＜x＜6時，L′＜0，L為減函數(shù)，
故當x=5時，L取最大值6；
當x≥6時，L=$-\frac{1}{5}{x}^{2}+\frac{16}{5}x-7$的圖象是開口朝下，且以直線x=8為對稱軸的拋物線，
故當x=8時，函數(shù)取最大值：$\frac{29}{5}$，
綜上所述，當x=5時，L取最大值6；
即日產(chǎn)量為5噸時，每日的利潤可以達到最大，最大值為6萬元．

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，分段函數(shù)的最值，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．