Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)銳角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x₁，y₁），將射線OP繞坐標(biāo)原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)$\frac{π}{2}$后與單位圓交于點(diǎn)Q（x₂，y₂）．記f（α）=y₁+y₂．
（1）求函數(shù)f（α）的值域；
（2）若f（C）=$\sqrt{2}$，求∠C．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的定義求出函數(shù)f（α）的表達(dá)式，即可求出處函數(shù)的值域；
（2）若f（C）=$\sqrt{2}$，則f（C）═$\sqrt{2}$sin（C+$\frac{π}{4}$）=，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由三角函數(shù)定義知，y₁=sinα，y₂=sin（α+$\frac{π}{2}$）=cosα，
f（α）=y₁+y₂=cosα+sinα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
∵角α為銳角，
∴$\frac{π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴＜sin（α+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴1＜$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
則f（α）的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]；
（Ⅱ）若f（C）=$\sqrt{2}$，則f（C）═$\sqrt{2}$sin（C+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
即sin（C+$\frac{π}{4}$）=1，
則C=$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的定義以及三角恒等變換的運(yùn)用，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．