Question

3．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F₂（3，0），離心率為e．
（1）若e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求橢圓的方程；
（2）若直線與橢圓y=kx交于A，B兩點，M，N分別為線段AF₂，BF₂ 中點，若坐標原點O在以MN為直徑的圓上，且$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求k²的最小值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的右焦點為F₂（3，0），離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓的方程．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，得（b²+a²k²）x²-a²b²=0，由此利用韋達定理、向量知識、橢圓性質，結合已知能求出k²的最小值．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F₂（3，0），離心率為e，
∴由題意得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，解得a=2$\sqrt{3}$，∴a²=12，
結合a²=b²+c²，解得b²=3，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，得（b²+a²k²）x²-a²b²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁+x₂=0，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
依題意知，OM⊥ON，∴四邊形OMF₂N為矩形，∴AF₂⊥BF₂，
∵$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=（x₁-3，y₁），$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=（x₂-3，y₂），
∴$\overrightarrow{{F}_{2}A}•\overrightarrow{{F}_{1}B}$=（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+9=0，
即$\frac{-{a}^{2}（{a}^{2}-9）（1+{k}^{2}）}{{a}^{2}{k}^{2}+（{a}^{2}-9）}$+9=0，
將其整理為${k}^{2}=\frac{{a}^{4}-18{a}^{2}+81}{-{a}^{4}+18{a}^{2}}$=-1-$\frac{81}{{a}^{4}-18{a}^{2}}$，
∵$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$2\sqrt{3}≤a＜3\sqrt{2}$，12≤a²＜18，
∴k²$≥\frac{1}{8}$，
∴k²的最小值為$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查斜率的平方的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、向量知識、橢圓性質的合理運用．