Question

9．如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為線段DD₁，BD的中點．
（1）求異面直線EF與BC所成的角的正切值．
（2）求三棱錐C-B₁D₁F的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD₁，則∠D₁BC位所求線面角，在Rt△BCD₁中計算tan∠D₁BC；
（3）證明CF⊥平面BDD₁B₁，則V${\;}_{C-{B}_{1}{D}_{1}F}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{B}_{1}{D}_{1}F}•CF$．

解答 解：（1）連接BD₁，
∵E，F(xiàn)分別為線段DD₁，BD的中點，∴EF∥BD₁，
故∠D₁BC即為異面直線EF與BC所成的角．
∵BC⊥平面CDD₁C₁，CD₁?平面CDD₁C₁，
∴BC⊥CD₁．
∵正方體棱長為2，∴CD₁=2$\sqrt{2}$，
∴tan∠D₁BC=$\frac{C{D}_{1}}{BC}$=$\sqrt{2}$，
所以異面直線EF與BC所成的角的正切值為$\sqrt{2}$．
（2）∵BB₁⊥平面ABCD，CF?平面ABCD，
∴BB₁⊥CF，
∵CB=CD，F(xiàn)是BD中點，
∴CF⊥BD，又BB₁∩BD=B，BB₁?平面BDD₁B₁，BD?平面BDD₁B₁，
∴CF⊥平面BDD₁B₁，
又CF=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，S${\;}_{△{B}_{1}{D}_{1}F}$=$\frac{1}{2}×{B}_{1}{D}_{1}×B{B}_{1}$=2$\sqrt{2}$．
∴V${\;}_{C-{B}_{1}{D}_{1}F}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{B}_{1}{D}_{1}F}•CF$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}$，
所以三棱錐C-B₁D₁F的體積為$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了空間角的計算，棱錐的體積計算，屬于中檔題．