Question

20．定義在R上的偶函數(shù)滿足f（2-x）+f（x）=2，且f（x）在[0，1]上單調(diào)，函數(shù)g（x）=f（x）-1在[0，2015]上的零點個數(shù)為（　　）

• A． 2015
• B． 2016
• C． 1007
• D． 1008

Answer 1

分析 根據(jù)條件得到函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，同時由f（2-x）+f（x）=2得到函數(shù)關(guān)于（1，1）對稱，利用函數(shù)（x）在[0，1]上單調(diào)性，判斷函數(shù)f（x）=1的x的取值，利用函數(shù)g（x）=0得f（x）=1，進(jìn)行求解即可．

解答 解：由g（x）=f（x）-1=0得f（x）=1，
∵偶函數(shù)滿足f（2-x）+f（x）=2
∴f（x-2）+f（x）=2，則f（x）+f（x+2）=2，
則f（x-2）+f（x）=f（x）+f（x+2）=2，
即f（x-2）=f（x+2），
則f（x）=f（x+4），則函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)．
當(dāng)x=1時，f（1）+f（1）=2，即f（1）=1，
當(dāng)x=0時，f（2）+f（0）=2，
當(dāng)x=-1時，f（-3）+f（-1）=2，
即f（3）+f（1）=2，即f（3）=2-f（1）=2-1=1，
∵函數(shù)是偶函數(shù)，∴f（-1）=f（1）=1，
∵函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)，
∴f（x）在[0，1]上只有f（1）=1，
在[-1，0]上只有f（-1）=1，
∵f（2-x）+f（x）=2，
∴函數(shù)f（x）關(guān)于（1，1）對稱，即函數(shù)在（1，3]上只有f（3）=1，
即函數(shù)f（x）在[0，2]內(nèi)只有1個點使f（1）=1，
則在[0，2014]上有2014÷2=1007個x使f（x）=1，在（2014，2015]內(nèi)有f（2015）=1，
即g（x）=f（x）-1在[0，2015]上的零點個數(shù)為1007+1=1008個，
故選：D

點評 本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系以及判斷函數(shù)的周期性和對稱性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．