【題目】在三棱錐中，是正三角形，面面，，，、分別是、的中點(diǎn)．

（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接、，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出且，利用直線與平面垂直的判定定理可證明出面，從而得出；

（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理證明出平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量法計(jì)算出二面角的余弦值．

（1）取的中點(diǎn)，連接、，

，，且．

又，面，又面，；

（2）由面面，平面平面，，平面，可得面.

故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，，， ，.

，，設(shè)為平面EFC的一個(gè)法向量

由，取，則，． .

又為面的一個(gè)法向量，由

如圖知二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖，在平面四邊形中，等邊三角形，，以為折痕將折起，使得平面平面．

（1）設(shè)為的中點(diǎn)，求證：平面；

（2）若與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值．

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【題目】已知橢圓的離心率為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成的三角形面積為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)與圓O：相切的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求△AOB面積的最大值。

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【題目】已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為32，48，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查．

Ⅰ應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？

Ⅱ若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．

用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差；

設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率．

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【題目】已知圓過點(diǎn)，且與圓外切于點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，，切點(diǎn)為，．

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）試問直線是否恒過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，要在河岸的一側(cè)修建一條休閑式人行道，進(jìn)行圖紙?jiān)O(shè)計(jì)時(shí)，建立了圖中所示坐標(biāo)系，其中，在軸上，且，道路的前一部分為曲線段，該曲線段為二次函數(shù)在時(shí)的圖像，最高點(diǎn)為，道路中間部分為直線段，，且，道路的后一段是以為圓心的一段圓弧．

（1）求的值；

（2）求的大�。�

（3）若要在扇形區(qū)域內(nèi)建一個(gè)“矩形草坪”，在圓弧上運(yùn)動，、在上，記，則當(dāng)為何值時(shí)，“矩形草坪”面積最大．

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【題目】如圖，在三棱錐中，已知都是邊長為的等邊三角形，為中點(diǎn)，且平面，為線段上一動點(diǎn)，記．

（1）當(dāng)時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值；

（2）當(dāng)與平面所成角的正弦值為時(shí)，求的值．

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【題目】已知函數(shù)，.

（1）若直線與曲線恒相切于同一定點(diǎn)，求直線的方程；

（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)在定義域上的導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)沒有零點(diǎn)，且，當(dāng)在上與在上的單調(diào)性相同時(shí)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

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