Question

山東省第23屆省運(yùn)會(huì)將于2014年在我市召開，為響應(yīng)市政府減排降污號(hào)召，某設(shè)備制造廠2013年初用72萬元購進(jìn)一條車用尾氣凈化設(shè)備生產(chǎn)線，并立即投入生產(chǎn)．該生產(chǎn)線第一年維修保養(yǎng)費(fèi)用12萬元，從第二年開始，每年所需維修保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加4萬元，該生產(chǎn)線使用后，每年的年收入為50萬元，設(shè)該生產(chǎn)線使用x年后的總盈利額為y萬元．
（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（前x年的總盈利額=前x年的總收入-前x年的總維修保養(yǎng)費(fèi)用-購買設(shè)備的費(fèi)用）
（2）從第幾年開始，該生產(chǎn)線開始盈利（總盈利額為正值）；
（3）到哪一年，年平均盈利額能達(dá)到最大值？此時(shí)工廠共獲利多少萬元？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意，根據(jù)第一年維修、保養(yǎng)費(fèi)用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加4萬元，該機(jī)床使用后，每年的總收入為50萬元，由此可得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由y＞0，即可得到結(jié)論；
（3）年平均盈利額

y

x

=40-2（x+

36

x

），利用基本不等式求最值．

解答： 解：（1）由題意得：5=50x-72-[12x+

x(x-1)

2

•4]=-2x²+40x-72（x∈N₊）．
（2）由y＞0得：-2x²+40x-72＞0即x²-20x+36＜0，解得2＜x＜18，
由x∈N₊知，從第三年開始盈利；
（3）年平均盈利額

y

x

=40-2（x+

36

x

）≤16，當(dāng)且僅當(dāng)x=6時(shí)等號(hào)成立．
∴到2018年，年平均盈利額能達(dá)到最大值，此時(shí)工廠共獲利96萬元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，屬于中檔題．