Question

13．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P在雙曲線的右支上且|PF₁|=4|PF₂|，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是（1，$\frac{5}{3}$]．

Answer 1

分析 利用雙曲線定義|PF₁|+|PF₂|=2a，設(shè)|PF₂|=r，推出|PF₂|=$\frac{2a}{3}$．通過|PF₂|≥c-a，求出雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答 解：根據(jù)雙曲線定義|PF₁|+|PF₂|=2a，設(shè)|PF₂|=r，
則|PF₂|=4r，故3r=2a，即r=$\frac{2a}{3}$，即|PF₂|=$\frac{2a}{3}$．
根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，|PF₂|≥c-a，即$\frac{2a}{3}≥c-a$，
即$\frac{c}{a}≤\frac{5}{3}$，即e≤$\frac{5}{3}$．又e＞1，
故雙曲線的離心率e的取值范圍是（1，$\frac{5}{3}$]．
故答案為：（1，$\frac{5}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線定義以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．