Question

7．已知函數(shù)f（x）=a（lnx-x）-3（a∈R，a≠0）的圖象在點（2，f（2））處的切線斜率為1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意t∈[0，1]，函數(shù)g（x）=x³+x²（$\frac{m}{2}$+f′（x））在區(qū)間（t，2）上總存在極值，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）點（2，f（2））處的切線的斜率為1，即f′（2）=1，可求a值，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，
（2）求出g（x）的解析式，由t∈[0，1]，且g（x）在區(qū)間（t，2）上總存在極值，得到關于m的不等式組，于是可求m的范圍．

解答 解：∵f（x）=a（lnx-x）-3，x＞0，
∴f′（x）=a（$\frac{1}{x}$-1），f′（2）=-$\frac{a}{2}$=1，解得a=-2，
∴f（x）=-2lnx+2x-3，f′（x）=$\frac{2（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）g（x）=x³+（$\frac{m}{2}$+2）x²-2x，
∴g′（x）=3x²+（m+4）x-2
∵g（x）在區(qū)間（t，2）上總存在極值，且g′（0）=-2
∴$\left\{\begin{array}{l}{g′（t）＜0}\\{g′（2）＞0}\end{array}\right.$，
由題意知：對于任意的t∈[0，1]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：$\left\{\begin{array}{l}{g′（0）=-2＜0}\\{g′（1）＜0}\\{g′（2）＞0}\end{array}\right.$，∴-9＜m＜-5．
∴當m∈（-9，-5）內(nèi)取值時對于任意的t∈[0，1]，
函數(shù)g（x）=x³+x²[$\frac{m}{2}$+f′（x）]在區(qū)間（t，2）上總存在極值．

點評 本題考查利用函數(shù)的導數(shù)來求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及已知函數(shù)曲線上一點求曲線的切線方程，考查求導公式的掌握情況，含參數(shù)的數(shù)學問題的處理，構(gòu)造函數(shù)求解證明不等式問題．