Question

17．已知f（x）=$\frac{{{x^2}+3}}{x-m}$（m∈R，x＞m）．
（1）若f（x）+m≥0恒成立，求m的取值范圍；
（2）若f（x）的最小值為6，求m的值．

Answer 1

分析 （1）f（x）+m≥0恒成立，可得$\frac{{{x^2}+3}}{x-m}$+m≥0，化為：x²+mx+3-m²≥0，令g（x）=x²+mx+3-m²，（x＞m），通過(guò)對(duì)m分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．
（2）f（x）的最小值為6，f（x）=$\frac{{{x^2}+3}}{x-m}$≥6，對(duì)于m∈R，x＞m恒成立，可得x²-6x+9≥6-6m，即（x-3）²≥6-6m，對(duì)m分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）f（x）+m≥0恒成立，∴$\frac{{{x^2}+3}}{x-m}$+m≥0，化為：x²+mx+3-m²≥0，
令g（x）=x²+mx+3-m²，（x＞m），
g′（x）=2x+m，
令g′（x）=2x+m=0，解得x=-$\frac{m}{2}$．
①m≥0時(shí)，m＞-$\frac{m}{2}$，則g（x）在（m，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）≥g（m）=m²+3＞0，滿足條件．
②m＜0時(shí)，m＜-$\frac{m}{2}$，則g（x）在x=-$\frac{m}{2}$時(shí)取得最小值，
∴$g（-\frac{m}{2}）$=$\frac{{m}^{2}}{4}$-$\frac{{m}^{2}}{2}$+3-m²≥0，解得：$-\frac{2\sqrt{15}}{5}$≤m＜0．
綜上可得：m的取值范圍是$[-\frac{2\sqrt{15}}{5}，+∞）$．
（2）∵f（x）的最小值為6，f（x）=$\frac{{{x^2}+3}}{x-m}$≥6，對(duì)于m∈R，x＞m恒成立，
∴x²-6x+9≥6-6m，即（x-3）²≥6-6m，
①m≥1時(shí)，6-6m≤0，x＞m時(shí)，（x-3）²≥0，此時(shí)恒成立．
②m＜1時(shí)，x=3時(shí)，6m-6≥0，解得m≥1舍去．
綜上可得：m≥1．
∴f（x）的最小值為6時(shí)，m=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．