Question

9．橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁，右焦點為F₂，離心率$\frac{1}{2}$，過F₁的直線交橢圓于A，B兩點，且△ABF₂的周長為8，橢圓E的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

Answer 1

分析 由已知結(jié)合橢圓定義可得4a=8，即a=2，再由離心率求得c，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求．

解答 解：由△ABF₂的周長為8，可得4a=8，即a=2，又e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得c=1，
∴b²=a²-c²=3，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了橢圓的定義，是基礎(chǔ)題．