Question

3．若正數(shù) x，y，z 滿足 x+2y+3z=1，則$\frac{1}{x+z}+\frac{8（x+z）}{y+z}$的最小值為9．

Answer 1

分析 原題意可轉(zhuǎn)化為$\frac{1}{x+z}+\frac{8（x+z）}{y+z}$=$\frac{（x+z）+2（y+z）}{x+z}$+$\frac{8（x+z）}{y+z}$=1+2[$\frac{y+z}{x+z}$+$\frac{4（x+z）}{y+z}$]．利用基本不等式即可求出．

解答 解：∵正數(shù) x，y，z 滿足 x+2y+3z=1，
∴（x+z）+2（y+z）=1，
∴$\frac{1}{x+z}+\frac{8（x+z）}{y+z}$=$\frac{（x+z）+2（y+z）}{x+z}$+$\frac{8（x+z）}{y+z}$=1+2[$\frac{y+z}{x+z}$+$\frac{4（x+z）}{y+z}$]≥1+8=9，
當(dāng)且僅當(dāng)y+z=2（x+z）=$\frac{2}{5}$時(shí)取等號(hào)，
故$\frac{1}{x+z}+\frac{8（x+z）}{y+z}$的最小值為9，
故答案為：9

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．