Question

12．計算$\root{3}{2+\sqrt{5}}$+$\root{3}{2-\sqrt{5}}$的值．

Answer 1

分析 設(shè)$\root{3}{2+\sqrt{5}}$=m，$\root{3}{2-\sqrt{5}}$=n，則m³+n³=2+$\sqrt{5}$+2-$\sqrt{5}$=4，mn=$\root{3}{2+\sqrt{5}}$×$\root{3}{2-\sqrt{5}}$=$\root{3}{4-5}$=-1，由此利用立方和公式得到（m+n）（m²+n²-mn）=4，由此能求出$\root{3}{2+\sqrt{5}}$+$\root{3}{2-\sqrt{5}}$的值．

解答 解：設(shè)$\root{3}{2+\sqrt{5}}$=m，$\root{3}{2-\sqrt{5}}$=n，
則m³+n³=2+$\sqrt{5}$+2-$\sqrt{5}$=4，mn=$\root{3}{2+\sqrt{5}}$×$\root{3}{2-\sqrt{5}}$=$\root{3}{4-5}$=-1，
∴（m+n）（m²+n²-mn）=4，
∴（m+n）[（m+n）²+3]=4，
∴（m+n）³+3（m+n）-4=0，
∴[（m+n）³-1]+3[（m+n）-1]=0，
∴[（m+n）-1][（m+n）²+（m+n）+4]=0，
解得m+1=1，
∴$\root{3}{2+\sqrt{5}}$+$\root{3}{2-\sqrt{5}}$=1．

點評 本題考查根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化及其化簡求值，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意立方和公式的合理運用．