Question

已知函數f（x）=

2x+1

2x-1

．
（Ⅰ）當x∈（0，+∞）時，判斷函數f（x）的單調性，并證之；
（Ⅱ）設F（x）=xf（x），討論函數F（x）的奇偶性，并證明：F（x）＞0．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（I）利用單調性的定義即可證明；
（II）利用偶函數的定義即可判斷出；再利用單調性即可得出值域．

解答： 解：（Ⅰ）當x∈（0，+∞）時，f（x）單調遞減；
證明：f(x)=1+

2

2x-1

，設x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
則1＜2x1＜2x2⇒2x2-2x1＞0，2x1-1＞0，2x2-1＞0，∴f(x1)-f(x2)=

2

2x1-1

-

2

2x2-1

=

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴當x∈（0，+∞）時，f（x）單調遞減；
（Ⅱ）F（x）的定義域為{x|x≠0}，
∵F(-x)=-x•

2-x+1

2-x-1

=-x•

1+2x

1-2x

=x•

2x+1

2x-1

=F(x)，
∴F（x）為偶函數，
當x＞0時，2^x＞1⇒2^x-1＞0，F(x)=x•

2x+1

2x-1

＞0，
又F（x）為偶函數，∴當x＜0時，-x＞0，F(xiàn)（x）=F（-x）＞0，
綜上：F（x）＞0．

點評：本題考查了函數的奇偶性和單調性，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．