Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2

3

，離心率為

2

2

，其右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（0，-b）、B（0，b）．
（Ⅰ）求橢圓C₁方程及△ABF外接圓的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)M（2，0）且斜率為k的直線與橢圓C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=

1

3

相交于兩點(diǎn)G、H，設(shè)P為橢圓C₂上一點(diǎn)，當(dāng)|

PG

-

PH

|＜

2 5

3

時(shí)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意知：c=

3

，e=

c

a

=

2

2

，由此能求出橢圓C的方程；從而得：A(0，-

3

)，B(0，

3

)，F(

3

，0)，由此能求出△ABF外接圓方程．
（Ⅱ）設(shè)GH：y=k（x-2），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），P（x，y），由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理能求出，結(jié)合已知條件能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知：c=

3

，e=

c

a

=

2

2

，又a²-b²=c²，
解得：a=

6

，b=

3

，
∴橢圓C的方程為：

x2

6

+

y2

3

=1，…2分
可得：A(0，-

3

)，B(0，

3

)，F(

3

，0)，…4分
而|OA|=|OB|=|OF|=

3

，
∴△ABF外接圓是以O(shè)為圓心，

3

為半徑的圓，
∴△ABF外接圓方程是  x²+y²=3．…6分
（Ⅱ）由題意可知直線GH的斜率存在．
設(shè)GH：y=k（x-2），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），P（x，y）
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，…7分
由△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，得：k²＜

1

2

（*）…8分
x₁+x₂=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

…9分
∵|

PG

-

PH

|＜

2 5

3

，∴|

HG

|＜

2 5

3

，
即

1+k2

|x1-x2|＜

2 5

3

，
∴(1+k2)[

64k4

(1+2k2)2

-4×

8k2-2

1+2k2

]＜

20

9

，
∴k²＞

1

4

，結(jié)合（*）得：

1

4

＜k2＜

1

2

，…11分
∴-

2

2

＜t＜-

1

2

，或 

1

2

＜t＜

2

2

．…12分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程和圓的方程的求法，考查實(shí)數(shù)k的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．