Question

已知點(diǎn)P（1，3）和⊙O：x²+y²=3，過點(diǎn)P的直線L與⊙O相交于不同兩點(diǎn)A、B，在線段AB上取一點(diǎn)Q，滿足

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

（λ≠0且λ≠±1），求證：點(diǎn)Q總在某定直線上．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），由

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

，化簡(jiǎn)可得（ x12+y12 ）-λ²（x22+y22 ）=（1-λ²）（x+3y）．又點(diǎn)A，B在圓x²+y²=3上，可得即x+3y=3，從而得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），
由

AP

=-λ

PB

，可得（1-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-1，y₂-3），即

x1-λx2=1-λ① y1-λy2=3(1-λ)②

．④
由

AQ

=λ

QB

，可得（x-x₁，y-y₁）=λ（x₂-x，y₂-y），即

x1+λx2=(1+λ)x③ y1+λy2=(1+λ)y④

．
①×③得  x12-법x22=（1-λ²） x，②×④可得 y12-법y22=3y（1-λ²）．
兩式相加，得（ x12+y12 ）-λ²（x22+y22 ）=（1-λ²）（x+3y），
又點(diǎn)A，B在圓x²+y²=3上，∴x12+y12=3，x22+y22=3，再由λ≠±1，λ≠0，
可得 x+3y=3，故點(diǎn)Q總在直線x+3y=3上．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，直線和圓的位置關(guān)系，式子的變形是解題的難點(diǎn)，屬于中檔題．