已知點(diǎn)P（1，3）和⊙O：x2+y2=3，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)L與⊙O相交于不同兩點(diǎn)A、B，在線(xiàn)段AB上取一點(diǎn)Q，滿(mǎn)足
AP
=-λ
PB
，
AQ
=λ
QB
（λ≠0且λ≠±1），求證：點(diǎn)Q總在某定直線(xiàn)上．
考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系
專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓
分析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），由
AP
=-λ
PB
，
AQ
=λ
QB
，化簡(jiǎn)可得（ x12+y12 ）-λ2（x22+y22 ）=（1-λ2）（x+3y）．又點(diǎn)A，B在圓x2+y2=3上，可得即x+3y=3，從而得出結(jié)論．
解答： 解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），
由
AP
=-λ
PB
，可得（1-x1，3-y1）=-λ（x2-1，y2-3），即
x1-λx2=1-λ①
y1-λy2=3(1-λ)②
．④
由
AQ
=λ
QB
，可得（x-x1，y-y1）=λ（x2-x，y2-y），即
x1+λx2=(1+λ)x③
y1+λy2=(1+λ)y④
．
①×③得  x12-λ2•x22=（1-λ2） x，②×④可得 y12-λ2•y22=3y（1-λ2）．
兩式相加，得（ x12+y12 ）-λ2（x22+y22 ）=（1-λ2）（x+3y），
又點(diǎn)A，B在圓x2+y2=3上，∴x12+y12=3，x22+y22=3，再由λ≠±1，λ≠0，
可得 x+3y=3，故點(diǎn)Q總在直線(xiàn)x+3y=3上．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，式子的變形是解題的難點(diǎn)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足方程（x-2）2+y2=3，求
y
x
的最小值（　　）
A、-3
B、3
C、-
3
D、
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知θ∈[
π
4
，
π
2
]，sin2θ=
24
25
，則cosθ=（　�。�
A、
3
5
B、
4
5
C、
7
4
D、
3
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列函數(shù)中，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）的是（　�。�
A、y=2x
B、y=x2
C、y=log2x
D、y=x 
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓O：x2+y2=2交x軸于A(yíng)、B兩點(diǎn)，曲線(xiàn)C是以AB為長(zhǎng)軸，離心率為
2
2
的橢圓，其左焦點(diǎn)為F，若P是圓O上一點(diǎn)，連結(jié)PF，過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)PF的垂線(xiàn)交直線(xiàn)x=-2于點(diǎn)Q．
（Ⅰ） 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ） 若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）求證：直線(xiàn)PQ與圓O相切；
（Ⅲ） 試探究：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與A、B重合），直線(xiàn)PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD四邊長(zhǎng)為1的菱形，∠ABC=
π
4
，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)
（1）證明：直線(xiàn)MN∥平面OCD；
（2）求0B與平面OCD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（A班）已知圓C：x2+y2+2x-4y+3=0．
（1）點(diǎn)P（x，y）在圓C上移動(dòng)，求x+y的取值范圍；
（2）若圓C的切線(xiàn)在x軸、y軸上的截距相等，求切線(xiàn)的方程；
（3）從圓C外一點(diǎn)P（x1，y1）向圓引一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+bx-1，其中a∈（0，4），b∈R．
（1）設(shè)b＜0，且{f（x）|x∈[-
1
a
，0]}=[-
3
a
，0]，求a，b的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，b，使函數(shù)f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)x0∈（1，2）；若存在請(qǐng)給出一對(duì)實(shí)數(shù)a，b，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（1-a）lnx+
a
x
+x，其中a∈R．
（Ⅰ）若曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)垂直于y軸，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]（e=2.718…）上的最小值．

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