Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-1，其中a∈（0，4），b∈R．
（1）設(shè)b＜0，且{f（x）|x∈[-

1

a

，0]}=[-

3

a

，0]，求a，b的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，b，使函數(shù)f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)x₀∈（1，2）；若存在請(qǐng)給出一對(duì)實(shí)數(shù)a，b，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由函數(shù)f（x）=ax²+bx-1的圖象是開口朝上，且以直線x=-

b

2a

為對(duì)稱軸的拋物線，可得f（x）在[-

1

a

，0]上為減函數(shù)，結(jié)合{f（x）|x∈[-

1

a

，0]}=[-

3

a

，0]，可得：

f(- 1 a )=0 f(0)=- 3 a

，解方程組可得滿足條件的a，b的值；
（2）取f（x）=（x-

3

2

）（x+

2

3

），此時(shí)a=1，b=

5

6

，滿足題意．（此問(wèn)為開放題目，答案不唯一）．

解答： 解：（1）∵a∈（0，4），
故函數(shù)f（x）=ax²+bx-1的圖象是開口朝上，且以直線x=-

b

2a

為對(duì)稱軸的拋物線，
又∵b＜0，
∴-

b

2a

＞0，則f（x）在[-

1

a

，0]上為減函數(shù)，
由{f（x）|x∈[-

1

a

，0]}=[-

3

a

，0]，可得：
∴

f(- 1 a )=0 f(0)=- 3 a

，即

1 a - b a -1=0 -1=- 3 a

，
解得：a=3，b=-2
（2）取f（x）=（x-

3

2

）（x+

2

3

），
此時(shí)函數(shù)f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)x₀=

3

2

∈（1，2）滿足題意，
此時(shí)a=1，b=

5

6

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．