Question

5．在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$（φ是參數(shù)，0≤φ≤π），以O為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．
（Ⅰ）求曲線C的極坐標方程；
（Ⅱ）直線l₁的極坐標方程是2ρsin（$θ+\frac{π}{3}$）$+3\sqrt{3}=0$，直線l₂：$θ=\frac{π}{3}$（ρ∈R）與曲線C的交點為P，與直線l₁的交點為Q，求線段PQ的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)φ，能求出曲線C的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲線C的極坐標方程．
（Ⅱ）設P（ρ₁，θ₁），Q（ρ₂，θ₂），列方程組求出ρ₁，ρ₂，由|PQ|=|ρ₁-ρ₂|，能求出結果．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$（φ是參數(shù)，0≤φ≤π），
∴消去參數(shù)φ，得曲線C的普通方程為（x-1）²+y²=3，其中0≤y≤$\sqrt{3}$，
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲線C的極坐標方程為ρ²-2ρcosθ-2=0，其中0≤θ≤π．
（Ⅱ）設P（ρ₁，θ₁），則$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}-2ρcosθ-2=0}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，
解得${ρ}_{1}=2，θ=\frac{π}{3}$，
設Q（ρ₂，θ₂），則$\left\{\begin{array}{l}{2ρsin（θ+\frac{π}{3}）+3\sqrt{3}=0}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，
解得${ρ}_{2}=-3，{θ}_{2}=\frac{π}{3}$，
∴|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=5．

點評 本題考查曲線的極坐標方程的求法，考查弦長的求法，考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．