Question

13．已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+ax-b²-7b在x=1處取極大值10，則$\frac{a}$的值為（　�。�

• A． -2
• B． -$\frac{2}{3}$
• C． -2或-$\frac{2}{3}$
• D． 不存在

Answer 1

分析 由于f′（x）=3x²+2bx+a，依題意知，f′（1）=3+2b+a=0，f（1）=1+b+a-b²-7b=10，于是有a=-3-2b，代入f（1）=10即可求得a，b，從而可得答案．

解答 解：∵f（x）=x³+bx²+ax-b²-7b，
∴f′（x）=3x²+2bx+a，
又f（x）=x³+bx²+ax-b²-7b在x=1處取得極大值10，
∴f′（1）=3+2b+a=0，f（1）=1+b+a-b²-7b=10，
∴b²+8b+12=0，
∴b=-2，a=1或b=-6，a=9．
當(dāng)b=-2，a=1時，f′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），
當(dāng)$\frac{1}{3}$＜x＜1時，f′（x）＜0，當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，
∴f（x）在x=1處取得極小值，與題意不符；
當(dāng)b=-6，a=9時，f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
當(dāng)x＜1時，f′（x）＞0，當(dāng)1＜x＜3時，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=1處取得極大值，符合題意；
∴$\frac{a}$=-$\frac{6}{9}$=-$\frac{2}{3}$，
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)在某點取得極值的條件，求得f′（x）=3x²+2bx+a，利用f′（1）=0，f（1）=10求得a，b是關(guān)鍵，考查分析、推理與運算能力，屬于中檔題．