【題目】過橢圓外一點(diǎn)作橢圓的切線，，切點(diǎn)分別為，，滿足.

（1）求的軌跡方程

（2）求的面積(用的橫坐標(biāo)表示)

（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求面積的取值范圍.

【答案】（1）.（2）.（3）

【解析】

（1）討論切線，的斜率都存在時(shí)，設(shè)出切線方程，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合相切的條件：判別式為0，由兩直線垂直的條件：斜率之積為，可得的軌跡方程；再討論切線的斜率不存在，可得所求；

（2）設(shè)，，求得，處的切線方程，可得切點(diǎn)弦的方程，聯(lián)立橢圓方程，由韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，可得，求得到直線的距離，再由三角形的面積公式，化簡(jiǎn)可得所求；

（3）運(yùn)用換元法和導(dǎo)數(shù)，判斷面積函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合的橫坐標(biāo)的范圍，可得所求范圍.

解：（1）當(dāng)切線，的斜率都存在時(shí)，設(shè)切線方程為，

由，

，

，

∵.

∴，

∴.

當(dāng)切線，的斜率有一條不存在時(shí)，，在上.

故的軌跡方程.

（2）設(shè)點(diǎn)，在橢圓上，則過點(diǎn)，的切線方程為，以下來證明此結(jié)論：

因?yàn)辄c(diǎn)，在橢圓上，得．

把，代入方程，得，

所以點(diǎn)，在直線上，

聯(lián)列方程組，消去可得，

解得，即方程組只有唯一解．

所以，直線為橢圓在點(diǎn)處的切線方程；

設(shè)，，

可知，過的切線方程為，

過的切線方程為.

又兩切線均過，

∴.

說明，均在直線上.

∵過兩點(diǎn)的直線唯一，

∴切點(diǎn)弦所在的直線方程為：.

由，

可得，，

即有，

可得，

又到直線的距離為，

可得的面積為，

由.可得，

即有；

（3）設(shè)，則，

，可得在遞增，

可得.

則運(yùn)動(dòng)時(shí)，求面積的取值范圍為.

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（2）若，現(xiàn)將該例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，請(qǐng)問：方案一、二、 三中哪個(gè)最“優(yōu)”?

（3）若對(duì)例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，且“方案二”比“方案一”更“優(yōu)”，求的取值范圍.

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