Question

【題目】冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征和嚴(yán)重急性呼吸綜合征等較嚴(yán)重疾病. 而今年出現(xiàn)的新型冠狀病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株. 人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等. 在較嚴(yán)重病例中感染可導(dǎo)致肺獎(jiǎng)、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、賢衰竭，甚至死亡.核酸檢測是診斷新冠肺炎的重要依據(jù)，首先取病人的唾液或咽拭子的樣本，再提取唾液或咽拭子樣本里的遺傳物質(zhì)，如果有病毒，樣本檢測會(huì)呈現(xiàn)陽性，否則為陰性. 根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，疑似病例核酸檢測呈陽性的概率為，現(xiàn)有例疑似病例，分別對(duì)其取樣、檢測，多個(gè)樣本檢測時(shí)，既可以逐個(gè)化驗(yàn)，也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)，混合樣本中只要有病毒，則混合樣本化驗(yàn)結(jié)果就會(huì)呈陽性，若混合樣本呈陽性，則將該組中各個(gè)樣本再逐個(gè)化驗(yàn)；若混合樣本呈陰性，則該組各個(gè)樣本均為陰性.現(xiàn)有以下三種方案:

方案一：逐個(gè)化驗(yàn)；

方案二：四個(gè)樣本混在一起化驗(yàn)；

方案三: 平均分成兩組化驗(yàn).

在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢查能力不足，化檢次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.

（1）若，求個(gè)疑似病例樣本混合化驗(yàn)結(jié)果為陽性的概率；

（2）若，現(xiàn)將該例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，請(qǐng)問：方案一、二、 三中哪個(gè)最“優(yōu)”?

（3）若對(duì)例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，且“方案二”比“方案一”更“優(yōu)”，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）方案二最“優(yōu)”，理由見解析；（3）.

【解析】

（1）可求得個(gè)疑似病例均為陰性的概率，再利用對(duì)立事件的概率公式可求得事件“個(gè)疑似病例樣本混合化驗(yàn)結(jié)果為陽性”的概率；

（2）分別計(jì)算出方案一、二、三中將該例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)所需次數(shù)的數(shù)學(xué)期望，比較三種方案中檢測次數(shù)的期望值大小，可得出最“優(yōu)”方案；

（3）求出方案二的數(shù)學(xué)期望，可得出關(guān)于的不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）由題意可知，個(gè)疑似病例均為陰性的概率為，

因此，該混合樣本呈陽性的概率為；

（2）方案一：逐個(gè)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)次數(shù)為；

方案二：混合在一起檢測，記檢測次數(shù)為，則隨機(jī)變量的可能取值為、，

，，

所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：

所以，方案二的期望為；

方案三：由（1）知，每組兩個(gè)樣本檢測時(shí)，若呈陰性則檢測次數(shù)為，概率為；若呈陽性則檢測次數(shù)為，概率為.

設(shè)方案三的檢測次數(shù)為隨機(jī)變量，則的可能取值為、、，

，，.

所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：

所以，方案三的期望為.

比較可得，故選擇方案二最“優(yōu)”；

（3）方案二：記檢測次數(shù)為，則隨機(jī)變量的可能取值為、，

，，

隨機(jī)變量的分布列如下表所示：

所以，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為，

由于“方案二”比“方案一”更“優(yōu)”，則，

可得，即，解得，

故當(dāng)時(shí)，方案二比方案一更“優(yōu)”.