Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{2+cosx}$，如果當x＞0時，若函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=kx的下方，則k的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]
• B． [$\frac{1}{3}$，+∞）
• C． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）
• D． [-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]

Answer 1

分析 由于f（x）的圖象和y=kx的圖象都過原點，當直線y=kx為y=f（x）的切線時，切點為（0，0），求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，即可得到切線的方程，結(jié)合圖象，可得k的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=kx的下方，
由于f（x）的圖象和y=kx的圖象都過原點，
當直線y=kx為y=f（x）的切線時，切點為（0，0），
由f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{cosx（2+cosx）-sinx（-sinx）}{（2+cosx）^{2}}$
=$\frac{2cosx+1}{（2+cosx）^{2}}$，
可得切線的斜率為$\frac{2cos0+1}{（2+cos0）^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
可得切線的方程為y=$\frac{1}{3}$x，
結(jié)合圖象，可得k≥$\frac{1}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程，正確求導(dǎo)和確定原點為切點，結(jié)合圖象是解題的關(guān)鍵，考查運算能力，屬于中檔題．