Question

8．已知函數(shù)f（x）=x-ax²-lnx（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為-2，求a的值以及切線方程；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，求f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求出a值，最后再根據(jù)直線的方程寫出切線的方程即可．
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論函數(shù)的單調(diào)性，即可得到f（x）的極小值．

解答 解：（1）f（x）=x-ax²-lnx的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=1-2ax-$\frac{1}{x}$．
由題設(shè)，f′（1）=-2a=-2，
解得a=1，
此時(shí)f（1）=0，切線方程為y=-2（x-1），
即2x+y-2=0；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x+x²-lnx，
f′（x）=1+2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}+x-1}{x}$
=$\frac{（2x-1）（x+1）}{x}$，（x＞0），
令f′（x）＞0，可得x＞$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，可得0＜x＜$\frac{1}{2}$，
可得x=$\frac{1}{2}$處f（x）取得極小值，且為$\frac{3}{4}$+ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義在切線的求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．