Question

19．定義函數(shù)y=f（x），x∈I，若存在常數(shù)M，對(duì)于任意x₁∈I，存在唯一的x₂∈I，使得$\frac{f{（x}_{1}）+f{（x}_{2}）}{2}$=M，則稱函數(shù)f（x）在I上的“均值”為M，已知f（x）=x²+log₂x，x∈[1，4]，則函數(shù)f（x）=x²+log₂x，x∈[1，4]上的“均值”為$\frac{19}{2}$．

Answer 1

分析 先判斷函數(shù)f（x）是單調(diào)增函數(shù)，利用定義，則可求出均值．

解答 解：存在常數(shù)M，對(duì)于任意x₁∈I，存在唯一的x₂∈I，使得$\frac{f{（x}_{1}）+f{（x}_{2}）}{2}$=M，則稱函數(shù)f（x）在I上的“均值”為M，
∵y=x²和y=log₂x在[1，4]上均為增函數(shù)，
∴f（x）=x²+log₂x在[1，4]上均為增函數(shù)，
令x₁•x₂=1×4=4，
當(dāng)x₁∈[1，4]時(shí)，選定x₂=$\frac{1}{{x}_{1}}$∈[1，4]，
∴M=$\frac{f{（x}_{1}）+f{（x}_{2}）}{2}$=$\frac{1}{2}$[f（1）+f（4）]=$\frac{1}{2}$[1+16+2）=$\frac{19}{2}$，
故答案為：$\frac{19}{2}$，

點(diǎn)評(píng) 這種題型可稱為創(chuàng)新題型或叫即時(shí)定義題型．關(guān)鍵是要讀懂題意．充分利用即時(shí)定義來答題．