Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=（n²+n-λ）a_n（n=1，2，…），λ是常數(shù)。
（1）當(dāng)a₂=-1時(shí)，求λ及a₃的值；
（2）數(shù)列{a_n}是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項(xiàng)公式；若不可能，說明理由；
（3）求λ的取值范圍，使得存在正整數(shù)m，當(dāng)n＞m時(shí)總有a_n＜0。

Answer 1

解：（1）由于且a₁=1，
所以當(dāng)a₂=-1時(shí)，得，
故 　
從而
（2）數(shù)列{a_n}不可能為等差數(shù)列
證明如下：由a₁=1，得

若存在，使{a_n}為等差數(shù)列，則a₃-a₂=a₂-a₁，即 　 　
解得=3
于是　　　　　
這與{a_n}為等差數(shù)列矛盾，
所以，對(duì)任意，{a_n}都不可能是等差數(shù)列。
（3）記
根據(jù)題意可知，b₁＜0且，即＞2且N*），
這時(shí)總存在N*，滿足：當(dāng)n≥n₀時(shí)，b_n＞0；當(dāng)n≤n₀-1時(shí)，b_n＜0
所以由a_n+1=b_na_n及a₁=1＞0可知，若n₀為偶數(shù)，則，
從而當(dāng)n＞n₀時(shí)a_n＜0；
若n₀為奇數(shù)，則，
從而當(dāng)n＞n₀時(shí)a_n＞0
因此“存在m∈N*，當(dāng)n＞m時(shí)總有a_n＜0”的充分必要條件是：n₀為偶數(shù)，
記n₀=2k（k=1，2， …），則滿足

故λ的取值范圍是4k²+2k（k∈N*）。