Question

曲線y=-x²+4x上有兩點A（4，0）、B（2，4）．
求：（1）割線AB的斜率k_AB及AB所在直線的方程；
（2）在曲線AB上是否存在點C，使過C點的切線與AB所在直線平行？若存在，求出C點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用兩點的斜率公式即可求得割線AB的斜率，再利用直線方程的點斜式求得AB所在直線的方程即得；
（2）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在點C，使過C點的切線與AB所在直線平行，再利用由導(dǎo)函數(shù)的幾何意義可知函數(shù)圖象在切點處的切線的斜率值即為其點的導(dǎo)函數(shù)值，求得切點的坐標(biāo)，結(jié)合直線的方程求出斜率等于-2的直線，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）∵點A（4，0）、B（2，4）．
∴k_AB=

4-0

2-4

=-2，
∴y=-2（x-4）．
∴所求割線AB所在直線方程為2x+y-8=0．
（2）y′=-2x+4，-2x+4=-2，得x=3，y=-3²+3×4=3．
∴C點坐標(biāo)為（3，3），所求切線方程為2x+y-9=0．
故在曲線AB上存在點C，使過C點的切線與AB所在直線平行．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及直線的方程、斜率公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．本題還考查了存在性問題，所謂存在性問題，一般是要求確定滿足某些特定要求的元素有或沒有的問題．解題思路是：先假定所需探索的對象存在或結(jié)論成立，以此為依據(jù)進(jìn)行計算或推理．