Question

20．已知關(guān)于x的方程x-3=a（x+2）（x-1）至少有一個(gè)比3大的根．求a的取值范圍．

Answer 1

分析 令f（x）=ax²+（a-1）x-2a+3，則它至少有一個(gè)比3大的根，根據(jù)a的符號(hào)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論求得a的范圍．

解答 解：關(guān)于x的方程x-3=a（x+2）（x-1），即 ax²+（a-1）x-2a+3=0，根據(jù)它至少有一個(gè)比3大的根，
令f（x）=ax²+（a-1）x-2a+3，
當(dāng)a＞0時(shí)，有f（3）=10a＜0 ①，或$\left\{\begin{array}{l}{△{=（a-1）}^{2}-4a（-2a+3）≥0}\\{\frac{1-a}{2a}＞3}\\{f（3）＞0}\end{array}\right.$ ②，
解①求得 a∈∅，解②求得0＜a＜$\frac{1}{7}$．
當(dāng)a＜0時(shí)，有f（3）=10a＞0③，或$\left\{\begin{array}{l}{△{=（a-1）}^{2}-4a（-2a+3）≥0}\\{\frac{1-a}{2a}＞3}\\{f（3）=10a＜0}\end{array}\right.$ ④．
解③求得a∈∅，解④求得 a＜0．
綜上可得，0＜a＜$\frac{1}{7}$ 或a＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．