Question

9．已知冪函數(shù)f（x）=x${\;}^{-{k}^{2}+k+2}$（k∈Z）滿足f（2）＜f（3），若函數(shù)g（x）=1-q，f（x）+（2q-1）x在區(qū)間[-1，2]上是減函數(shù)，則非負實數(shù)q的取值范圍是0≤q≤$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 先表示出函數(shù)g（x）的表達式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性通過討論q的范圍，從而得到答案．

解答 解：依題意可知，-k²+k+2＞0，解得：-1＜k＜2，
又k∈Z，所以k=0或1，則-k²+k+1=2，
所以：f（x）=x²．
g（x）=-qx²+（2q-1）x+1，（q≥0），
當(dāng)q=0時，g（x）=-x+1在[-1，2]單調(diào)遞減成立；
當(dāng)q＞0時，g（x）=-qx²+（2q-1）x+1開口向下，對稱軸右側(cè)單調(diào)遞減，
所以 $\frac{2q-1}{2q}$≤-1，解得0＜q≤$\frac{1}{4}$；
綜上所述，0≤q≤$\frac{1}{4}$，
故答案為：0≤q≤$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了函數(shù)解析式的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道基礎(chǔ)題．