Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0，且a≠1）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
（1）求m的值；
（2）判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并根據(jù)定義證明；
（3）若f（x）在（2，+∞）上恒有f（x）＞-1，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0，且a≠1）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得f（-x）+f（x）=0，即log_a

1-mx

x-1

+log_a

1+mx

-x-1

=0，從而解得；
（2）先判斷當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性證明；
（3）由f（x）在（2，+∞）上恒有f（x）＞-1知f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增；且log_a3＞-1，從而解得．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0，且a≠1）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴f（-x）+f（x）=0，
即log_a

1-mx

x-1

+log_a

1+mx

-x-1

=0，
即（

1-mx

x-1

）（

1+mx

-x-1

）=1；
即1-m²x²=1-x²；
故m=1或m=-1；
若m=1，則

1-x

x-1

=-1，不成立；
若m=-1，則由

1+x

x-1

＞0得，
x＞1或x＜-1；
故m=-1；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
證明如下，
f（x）=log_a

1+x

x-1

=log_a（1+

2

x-1

），
∵y=1+

2

x-1

在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
而當(dāng)a＞1時(shí)，y=log_ax在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
故f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=log_ax在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
故f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）f（x）在（2，+∞）上恒有f（x）＞-1，
故f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增；且log_a3＞-1，
即0＜a＜

1

3

；
故a的取值范圍為（0，

1

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及恒成立問題的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．