Question

12．設(shè)a＞0，且a≠1，f（x）=x（$\frac{1}{{a}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）證明：f（x）是偶函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求使解析式有意義的x范圍；
（2）從函數(shù)奇偶性的定義判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系．

解答 解：（1）要使函數(shù)有意義，只要a^x≠1，即x≠0，所以函數(shù)的定義域為：{x|x∈R，x≠0}；
（2）由（1）可知，函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱；
由已知，f（-x）=-x（$\frac{1}{{a}^{-x}-1}$+$\frac{1}{2}$）=-x（$\frac{{a}^{x}}{1-{a}^{x}}$$+\frac{1}{2}$）=x（$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}-1}-\frac{1}{2}$）=x$\frac{2{a}^{x}-{a}^{x}+1}{2（{a}^{x}-1）}$=x$\frac{{a}^{x}+1}{2（{a}^{x}-1）}$=x$\frac{{a}^{x}-1+2}{2（{a}^{x}-1）}$=x（$\frac{1}{{a}^{x}-1}+\frac{1}{2}$）=f（x）．
所以函數(shù)為偶函數(shù)．

點評 本題考查了求函數(shù)定義域以及判定函數(shù)的奇偶性．屬于基礎(chǔ)題．