Question

2．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別為AB，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在DD₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否都有MN∥平面A₁C₁P，證明你的結(jié)論；
（3）若P是D₁D的中點(diǎn)，試判斷PB與平面B₁MN是否垂直？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）連接AC，由正方形性質(zhì)得AC⊥BD，又由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，易得MN∥AC，則MN⊥BD．BB₁⊥MN，由線面垂直的判定定理，可得MN⊥平面BB₁D₁D，進(jìn)而由面面垂直的判定定理，可得平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在DD₁上移動(dòng)時(shí)，都有MN∥平面A₁C₁P．由線面平行的判定定理證明即可；
（3）要證明PB⊥平面MNB₁，需利用題設(shè)條件推導(dǎo)出PB⊥MB₁，PB⊥MN，由此能夠證明PB⊥平面MNB₁．

解答 （1）證明：連接AC，則AC⊥BD，
又M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴MN∥AC，
∴MN⊥BD．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
∴BB₁⊥平面ABCD，
∵M(jìn)N?平面ABCD，
∴BB₁⊥MN，
∵BD∩BB₁=B，
∴MN⊥平面BB₁D₁D，
∵M(jìn)N?平面B₁MN，
∴平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在DD₁上移動(dòng)時(shí)，都有MN∥平面A₁C₁P．
證明如下：
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=CC₁，AA₁∥CC₁
∴四邊形AA₁C₁C是平行四邊形，
∴AC∥A₁C₁
由（1）知MN∥AC，
∴MN∥A₁C₁
又∵M(jìn)N?面A₁C₁P，A₁C₁?平面A₁C₁P，
∴MN∥平面A₁C₁P；
（3）證明：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AA₁，則PE∥DA，連接BE，
∵DA⊥平面ABB₁A₁，∴PE⊥平面ABB₁A₁，即PE⊥B₁M，
又∵BE⊥B₁M，∴B₁M⊥平面PEB，
∴PB⊥MB₁，
由（1）中MN⊥平面DD₁B₁B，得PB⊥MN，
所以PB⊥平面MNB₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的性質(zhì)，其中熟練掌握空間線面關(guān)系的判定、性質(zhì)、定義，建立良好的空間想像能力是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．