Question

曲線y=x-

1

x

上任一點處的切線分別與直線x=0，y=x相交于點A，B，O是坐標(biāo)原點，則△OAB的面積是

2

．

Answer 1

分析：設(shè)切點坐標(biāo)，把切點的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)求出切線的斜率，由切點坐標(biāo)和斜率寫出切線的方程，分別令x=0和y=x求出三角形的底與高，由三角形的面積公式即可求出△OAB的面積．

解答：解：設(shè)曲線y=x-

1

x

上任取一點（m，m-

1

m

）
∵y′=1+

1

x2

∴y′

|

x=m

=1+

1

m2

即切線的斜率為1+

1

m2

則切線的方程為y-m+

1

m

=（1+

1

m2

）（x-m）
令x=0得y=-

2

m

令y=x得，x=2m
∴△OAB的面積=

1

2

|-

2

m

|×|2m|=2
故答案為：2

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及三角形面積的度量，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．