Question

設(shè)A_n={

1

2

，

3

4

，

5

8

，…，

2n-1

2n

}（n∈N^*，n≥2），A_n的所有非空子集中的最小元素的和為S，則S=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：當(dāng)n=2時(shí)，列舉出A_n的所有非空子集，求出S；當(dāng)n=3時(shí)，列舉出A_n的所有非空子集，求出S；當(dāng)n≥4時(shí)，分別求出最小值為

2n-1

2n

、

2n-3

2n-1

、…、

7

16

、

5

8

、

3

4

、

1

2

時(shí)對(duì)應(yīng)用于最小元素和，把這些和相加得到S的表達(dá)式，再進(jìn)行分類討論，能求出結(jié)果．

解答： 解：由題設(shè)知：
當(dāng)n=2時(shí)，A_n的所有非空子集為：{

1

2

，

3

4

}，{

1

2

}，{

3

4

}，
∴S=

1

2

×2+

3

4

=

7

4

；
當(dāng)n=3時(shí)，A_n的所有非空子集為：{

1

2

，

3

4

，

5

8

}，{

1

2

，

3

4

}，{

1

2

，

5

8

}，{

3

4

，

5

8

}，
{

1

2

}，{

3

4

}，{

5

8

}，
∴S=

1

2

×4+

3

4

×2+

5

8

=4；
當(dāng)n≥4時(shí)，當(dāng)最小值為

2n-1

2n

時(shí)，每個(gè)元素都有有或無(wú)兩種情況，
共有n-1個(gè)元素，共有2^n-1-1個(gè)非空子集，
S1=

2n-1

2n

×2n-1=

2n-1

2

；
當(dāng)最小值為

2n-3

2n-1

，不含

2n-1

2n

，含

2n-3

2n-1

，
共n-2個(gè)元素，有2^n-2個(gè)非空子集，
S2=

2n-3

2n-1

×2n-2=

2n-3

2

；
當(dāng)最小值為

7

16

時(shí)，S_n-3=

7

24

×23=

7

2

；
當(dāng)最小值為

1

2

時(shí)，Sn-2=

1

2

×4=2；
當(dāng)最小值為

5

8

時(shí)，S_n-1=

5

8

×2=

5

4

；
當(dāng)最小值為

3

4

時(shí)，Sn=

3

4

．
∴S=S₁+S₂+S₃+…+S_n
=

2n-1

2

+

2n-3

2

+…+

7

2

+2+

5

4

+

3

4

=

(2n-1)+(2n-3)+…+7

2

+4
=

n2-1

2

．
當(dāng)n=3時(shí)，符合；當(dāng)n=2時(shí)不符合．
∴S=

7 4 ，n=2 n2-1 2 ，n≥3，n∈N*

．
故答案為：

7 4 ，n=2 n2-1 2 ，n≥3，n∈N*

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要熟練掌握集合的子集的概念，注意分類討論思想的靈活運(yùn)用．