Question

4．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)．若在橢圓上存在點(diǎn)P滿足|PF₁|=|F₁F₂|，且原點(diǎn)到直線PF₂的距離等于橢圓的短半軸長(zhǎng)，則該橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{5}{7}$
• B． $\frac{7}{5}$
• C． $\frac{1}{7}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 過F₁做PF₂的垂線，交PF₂于B，根據(jù)題意及中位線定理求得|F₁B|=2b，根據(jù)勾股定理求得|BF₂|=2$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$，利用等腰三角形三線合一，求得|PF₂|=4$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$，根據(jù)橢圓的定義及性質(zhì)，求得5a²-2ac-7c²=0，即7e²+2e-5=0，根據(jù)離心率的取值范圍，求得橢圓的離心率．

解答 解：由題意可知：過F₁做PF₂的垂線，交PF₂于B，
由題意可知：OA⊥PF₂，OF₁=OF₂，|OA|=b，
∴2|OA|=|F₁B|，
∴|F₁B|=2b，
由|PF₁|=|F₁F₂|，
∴△PF₁F₂為等腰三角形，
∴B為PF₂的中點(diǎn)，
由直角三角形中：|F₁B|²+|BF₂|²=|F₁F₂|²，
∴|BF₂|=2$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$，
∴|PF₂|=4$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$，
由橢圓的定義可知：|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴2c+4$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=2a，
由a²=b²+c²，
代入整理得：5a²-2ac-7c²=0，等式兩邊同除以a²，
根據(jù)橢圓的離心率公式e=$\frac{c}{a}$，整理得：7e²+2e-5=0，
由0＜e＜1，
解得：e=$\frac{5}{7}$，
故答案選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查等腰三角形性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，橢圓的離心率的取值范圍，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．