Question

4．對(duì)于任意一個(gè)非零復(fù)數(shù)α，定義M_a={ω|ω=α^2n-1，n∈N₊}．
（1）若集合M中只有三個(gè)元素，試寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一個(gè)α，并說(shuō)明理由；
（2）設(shè)α是方程x+$\frac{1}{x}$=$\sqrt{2}$的一個(gè)根，試用列舉法表示集合M．

Answer 1

分析 （1）定義M_α={ω|ω=α^2n-1，n∈N₊}，且集合M中只有三個(gè)元素，可得α=α⁷，α≠0，即α⁶=1，解出即可得出．
（2）由x+$\frac{1}{x}$=$\sqrt{2}$，化為：x²-$\sqrt{2}$x+1=0，利用求根公式解得x，即可得出M．

解答 解：（1）∵定義M_α={ω|ω=α^2n-1，n∈N₊}，且集合M中只有三個(gè)元素，
∴α=α⁷，α≠0，
∴α⁶=1，
取α=$cos\frac{π}{3}+isin\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$．
∴M_α={$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，-1，$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$}．
（2）由x+$\frac{1}{x}$=$\sqrt{2}$，化為：x²-$\sqrt{2}$x+1=0，解得x=$\frac{\sqrt{2}±\sqrt{2}i}{2}$，∴M=$\{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}i}{2}，\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}i}{2}\}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了集合的運(yùn)算性質(zhì)、新定義、復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、一元二次方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．