Question

16、若函數(shù)f（x）=x³-3x在區(qū)間（a²-5，a）上有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

-1＜a＜2

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Answer 1

分析：求函數(shù)f（x）=x³-3x導(dǎo)數(shù)，研究其最大值取到的位置，由于函數(shù)在區(qū)間（a²-5，a）上有最小值，故最大值點(diǎn)的橫坐標(biāo)是集合（a²-5，a）的元素，由此可以得到關(guān)于參數(shù)a的等式，解之求得實(shí)數(shù)a的取值范圍

解答：解：由題 f'（x）=3x²-3，
令f'（x）＜0解得-1＜x＜1；令f'（x）＞0解得x＜-1或x＞1
由此得函數(shù)在（-∞，-1）上是增函數(shù)，在（-1，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)
故函數(shù)在x=-1處取到極大值2，判斷知此極大值必是區(qū)間（a²-5，a）上的最大值
∴a²-5＜-1＜a，解得-1＜a＜2
又當(dāng)x=2時，f（2）=2，故有a≤2
綜上知a∈（-1，2）
故答案為：-1＜a＜2

點(diǎn)評：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)中工具的一個重要運(yùn)用，要注意把握其作題步驟，求導(dǎo)，確定單調(diào)性，得出最值．