Question

17．設(shè)f（x）是定義在R上的恒不為零的函數(shù)，對?x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{3}，{a_n}=f（n），n∈{N^*}$，且其前n項和S_n對任意的正整數(shù)n都有S_n≤M成立，則M的最小值是（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）•f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，可得數(shù)列{a_n}是以$\frac{1}{3}$為首項，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，進而可以求得S_n，進而S_n的取值范圍．

解答 解：∵對任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），
∴令x=n，y=1，得f（n）•f（1）=f（n+1），
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{f（n+1）}{f（n）}$=f（1）=$\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列{a_n}是以$\frac{1}{3}$為首項，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=f（n）=（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴S_n=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$）ⁿ∈[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{2}$）．
故選C．

點評 本題主要考查了等比數(shù)列的求和問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y）得到數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，屬中檔題．