Question

已知f（x）=

3x(0＜x≤1) log2(x-1)(1＜x≤3)

，若f（f（t））∈[0，1]，則實數(shù)t的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：通過t的范圍，求出f（t）的表達(dá)式，判斷f（t）的范圍，然后代入已知函數(shù)，通過函數(shù)的值域求出t的范圍即可．

解答： 解：當(dāng)t∈（0，1]，所以f（t）=3^t∈（1，3]，
又函數(shù)f（x）=

3x(0＜x≤1) log2(x-1)(1＜x≤3)

，
則f（f（t）=log₂（3^t-1），
因為f（f（t））∈[0，1]，
所以0≤log₂（3^t-1）≤1，即1≤3^t-1≤2，
解得：log₃2≤t≤1，
則實數(shù)t的取值范圍[log₃2，1]；
當(dāng)1＜t≤3時，f（t）=log₂（t-1）∈（-∞，1]，
由于f（f（t））∈[0，1]，
即有0≤3log2(t-1)≤1，
解得1＜t≤2．
此時f（t）=log₂（t-1）≤0，f（f（t））不存在．
綜上可得t的取值范圍為[log₃2，1]．
故答案為：[log₃2，1]．

點評：本題考查分段函數(shù)的綜合應(yīng)用，指數(shù)與對數(shù)不等式的解法，函數(shù)的定義域與函數(shù)的值域，考查計算能力，屬于中檔題和易錯題．